θεμέλια των μαθηματικών

θεμέλια των μαθηματικών
Κλάδος των μαθηματικών που αναλύει τις βασικές έννοιες των διαφόρων μαθηματικών θεωριών. Αυτό το είδος έρευνας, σήμερα αρκετά προχωρημένο, άρχισε από τα μέσα του 19ου αι. Η κριτική των θεμελίων της αριθμητικής έχει ιδιαίτερη σημασία για τον λόγο ότι η συνέπεια (δηλαδή η απουσία εσωτερικών αντιφάσεων) σε βασικές μαθηματικές θεωρίες ανάγεται στη συνέπεια της θεωρίας των φυσικών αριθμών. Έτσι, για παράδειγμα, συνέπεια στη θεωρία των φυσικών αριθμών συνεπάγεται συνέπεια στη θεωρία των ρητών αριθμών και στη θεωρία (γενικότερα) των πραγματικών αριθμών. Αυτό το γεγονός συνεπάγεται συνέπεια στη συνηθισμένη γεωμετρία, επειδή αυτή βασίζεται στη θεωρία των πραγματικών αριθμών με την εισαγωγή των συντεταγμένων. Οι πρώτοι που ασχολήθηκαν με τη θεμελίωση της αριθμητικής είναι οι Γκότλομπ Φρέγκε, Ρίχαρντ Ντέντεκιντ και Ιωσήφ Πεάνο (αξιωματική θεμελίωση των φυσικών αριθμών, αξιώματα του Πεάνο). Στη θεμελίωση των μαθηματικών έχει μεγάλη σημασία το θεώρημα του Κουρτ Γκέντελ· σύμφωνα με αυτό είναι αδύνατο να αποδειχθεί η συνέπεια ενός τυπικού συστήματος μόνο με μέσα του ίδιου του συστήματος αυτού (έτσι πρέπει να θεωρείται εσφαλμένη η προσπάθεια του Φρέγκε να αναγάγει την αριθμητική στη λογική και του Χίλμπερτ να αποδείξει τη συνέπεια της αριθμητικής με καθαρά τυπικό τρόπο). Φαίνεται, λοιπόν, ότι τα μαθηματικά για τη θεμελίωσή τους πρέπει να χρησιμοποιήσουν και κάτι εξωμαθηματικό (σχολή των διαισθητικών του Μπράουερ). Η κριτική των θ. των μ. γεννήθηκε στον τομέα της γεωμετρίας (θεμέλια της γεωμετρίας), με το περίφημο πέμπτο ευκλείδιο αξίωμα («από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μία και μόνο παράλληλός της»). Έχει αποδειχτεί ότι η πρόταση αυτή είναι ανεξάρτητη από τα άλλα αξιώματα της ευκλείδιας γεωμετρίας και επομένως είναι λογικά δυνατόν να έχουμε και γεωμετρίες μη ευκλείδειες (βάζοντας στη θέση του πέμπτου αξιώματος του Ευκλείδη ένα άλλο σχετικά με το πλήθος των παράλλήλων προς μια ευθεία, που διέρχονται από σημείο εκτός αυτής).

Dictionary of Greek. 2013.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Look at other dictionaries:

  • Κάντορ, Γκέοργκ — (GeorgCantor, 1845 – 1918). Γερμανός μαθηματικός και στοχαστής. Από το 1872 μέχρι το 1905 διετέλεσε καθηγητής του πανεπιστημίου του Χάλε. Ο Κ. είναι γνωστός για τη θεμελίωση της θεωρίας των άρρητων αριθμών, ωστόσο καθιερώθηκε ως o δημιουργός και… …   Dictionary of Greek

  • Ιταλία — Επίσημη ονομασία: Δημοκρατία της Ιταλίας Έκταση: 301.230 τ. χλμ. Πληθυσμός: 56.305.568 (2001) Πρωτεύουσα: Ρώμη (2.459.776 κάτ. το 2001)Κράτος της νότιας Ευρώπης. Συνορεύει στα ΒΔ με τη Γαλλία, στα Β με την Ελβετία και την Αυστρία, στα ΒΑ με τη… …   Dictionary of Greek

  • Γαλλία — Επίσημη ονομασία: Δημοκρατία της Γαλλίας Έκταση: 547.030 τ.χλμ Πληθυσμός: 58.518.148 κάτ. (2000) Πρωτεύουσα: Παρίσι (2.125.246 κάτ. το 2000)Κράτος της δυτικής Ευρώπης. Συνορεύει στα ΝΑ με την Ισπανία και την Ανδόρα, στα Β με το Βέλγιο και το… …   Dictionary of Greek

  • Ελλάδα - Επιστήμες — ΑΡΧΑΙΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Η επιστήμη και η τεχνολογία καθορίζουν σήμερα, περισσότερο από οποιαδήποτε άλλη στιγμή στην ιστορία, την καθημερινή ζωή. Η ίδια όμως η έννοια της επιστήμης, όπως τη χρησιμοποιούμε στις μέρες μας, οφείλει την ύπαρξή… …   Dictionary of Greek

  • Γερμανία — Επίσημη ονομασία: Ομοσπονδιακή Δημοκρατία της Γερμανίας Προηγούμενη ονομασία (1948 90): Γερμανική Ομοσπονδιακή Δημοκρατία (ή Δυτική Γερμανία) & Γερμανική Λαϊκή Δημοκρατία) Έκταση: 357.021 τ.χλμ Πληθυσμός: 82.440.309 κάτ. (2000) Πρωτεύουσα:… …   Dictionary of Greek

  • λογική — I (Μαθημ.). Μαθηματική επιστήμη, τα θεμέλια της οποίας βρίσκονται στο έργο του Αριστοτέλη Όργανον (βλ. λ. λογική [φιλοσοφική επιστήμη]). Ο μαθηματικός Μπουλ εισήγαγε στη λ. αυτή τον λογισμό, με τον οποίο αποφεύγονται πολλά προβλήματα που υπάρχουν …   Dictionary of Greek

  • επιστήμη — Ένα σύνολο γνώσεων με αντικειμενικό κύρος. Ως γνώση ορίζεται η δυνατότητα διάκρισης των αντικειμένων στα οποία αποδίδονται τα ίδια χαρακτηριστικά μέσα σε ένα ορισμένο σύνολο. Αυτό το σύνολο μπορεί να είναι σχετικό με ειδικές καταστάσεις σε μία… …   Dictionary of Greek

  • άπειρο — Το ατελείωτο, το απέραντο· το αναρίθμητο· ειδικότερα, το σύμπαν, το διάστημα. (Μαθημ.) Ήδη από την αρχαιότητα, η μαθηματική ανάλυση του α. συνδέεται στενά με τη φιλοσοφική αναζήτηση. Ονομαστά προβλήματα σχετικά με το ά., όπως τα παράδοξα του… …   Dictionary of Greek

  • κίνα — Επίσημη ονομασία: Λαϊκή Δημοκρατία της Κίνας Έκταση: 9.596.960 τ. χλμ. Πληθυσμός: 1.284.303.705 κάτ. (2002) Πρωτεύουσα: Πεκίνο ή Μπεϊτζίνγκ (6.619.000 κάτ. το 2003)Κράτος της ανατολικής Ασίας. Συνορεύει στα Β με τη Μογγολία και τη Ρωσία, στα ΒΑ… …   Dictionary of Greek

  • φυσική — Επιστήμη που μελετά τη δομή και τις ιδιότητες της ύλης σε όλες τις πολυποίκιλες συνθήκες και μορφές της, καθώς επίσης τους νόμους που ρυθμίζουν την κίνησή της και τις αμοιβαίες μετατροπές. Αν και η μελέτη της φύσης προκάλεσε το ενδιαφέρον των… …   Dictionary of Greek

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”